Journal de bord de la préparation à l'écrit 2008-2009
Le journal de bord 2007-2008 est ici,
celui de 2009-2010 est là.
Algèbre et géométrie
Compléments du
Mercredi 10/09 et du Mardi 16/09 (10:15-12:15) :
Coniques réelles : définition, écriture matricielle, changements de
coordonnées. Classification affine, invariants pour le groupe affine,
coniques propres, coniques à centre. Coniques dans le plan euclidien :
classification, formes réduites. Propriétés affines de l'ellipse.
Définition bifocale des coniques à centre. Définition par foyer et
directrice. Propriétés des tangentes à une conique. (M. Coste)
Notes du 1er cours.
Compléments des Mercredis 17-24/09, 1-8/10 (8:00-10:00) :
Dans les premières séances nous avons vu les espaces hermitiens de
dimension finie et leurs endomorphismes remarquables; puis
l'exponentielle de matrice; puis la décomposition polaire. Après, nous
avons parcouru le programme de géométrie affine de l'agrégation. Brèves remarques sur le problème (1e épreuve interne 99) (M.
Coste)
Jeudi 25/09 :
J'ai parlé de séries formelles, qui ont fait leur réapparition dans
le programme de l'agrégation, avec quelques applications (combien de
façons de payer 2008 ¤ en pièces de 1, 2 et 5 cent.). (M. Coste)
Compléments des mercredis15,22/10 5,12/11
(David Bourqui)
On parlera d'abord de formes linéaires et de dualité (bases duales et
antéduales, orthogonalité, définition et propriétés du transposé,
applications, équations d'un sous-espace vectoriel, si la météo le
permet équations d'un sous-espace affine).
Puis on reviendra sur les formes quadratiques (noyau, cône isotrope,
existence de bases orthogonales et algorithme de Gauss, classification,
signature, théorème d'inertie de Sylvester, orthogonalisation
simultanée et applications)
Compléments (Bachir Bekka)
Mercredi 19 novembre:
Rappels sur les anneaux factoriels-
Théorème de Gauss sur la factorialité d'anneaux de polynômes
Mercredi 26 novembre:
Anneaux de polynômes en plusieurs indéterminées-
Factorialité de ces anneaux-
Fonctions polynomiales et polynômes en plusieurs indéterminées-
Structure du sous-anneau des polynômes symétriques
Mercredi 2 décembre:
Rappels sur les anneaux noethériens-Noethérianité
des anneaux de polynômes en plusieurs indéterminées
(Théorème de la base de Hilbert).
Mercredi 9 décembre:
Quelques notions de géométrie algébrique
(ensembles algébriques, énoncé du Nullstellensatz).
Correction de l'ecrit blanc (sujet de 2006)
TD
(Michel Coste) 6/10 : début du problème de Mathématiques Générales 2005
(un peu de réseaux). 13/10 : Exercices de géométrie affine.
8/12 : un début de problème autour du résultant.
15/12 : problème sur les polynômes symétriques etc.
Compléments de cours d'algèbre du 11 mars au 1er avril (Laurent Moret-Bailly)
- Dualité des groupes abéliens finis (en complément au problème de math géné 96).
- Actions de groupes:
- définitions générales, orbites...
- cas des groupe finis, formule des classes;
- applications (p-groupes notamment);
- théorèmes de Sylow: plusieurs démonstrations.
Analyse et probabilités
Séances des 10, 17, 24 septembre et 1 octobre (Hubert Hennion)
- Formule d'Euler-MacLaurin à l'ordre 1 : application à l'étdude des
séries numériques
et au prolongement de la fonction zeta à Re z>0\1.
- Transformation d'Abel : application aux séries numériques et aux séries
de fonctions
(séries trigonométriques, séries entières, séries de Dirichlet).
- Séries entières comportement au bord et coefficients, application au
nombre de
solutions d'une équation diophantienne.
- Fonction gamma, prolongement à C\Z_ par produit infini.
- Fonction entière et théorème de Cramer-Lévy.
- Correction du problème de la session 92 (2h) : commentaires sur les
échanges de limites, les séries de Fourier, les produits infinis de
fonctions holomorphes.
Séances des 8, 15, 22 octobre et 5 novembre (Florent Malrieu)
- Correction du problème de la session 03.
- Convolution, régularisation.
- Intégrale à paramètre.
- Probabiité élémentaire.
- Polynômes orthogonaux.
Séances des 12, 19, 26 novembre et 3 décembre (Rozenn Texier-Picard)
- Autour du théorème de Cauchy-Lipschitz : deux exemples, énoncé du théorème,
pourquoi la condition "localement lipschitz" change tout (via le lemme de
Gronwall), passage du local au global.
- A suivre...
Compléments des 23 octobre et 13 novembre (Hubert Hennion)
- Un théorème de Paley-Wiener : caractérisation des transformées
de Fourier des fonctions indéfiniment dérivables à supports compacts.
- Les grandes lignes de la construction de la transformation de Fourier
dans L2. Exemple de calcul. Tranformée de Fourier d'une fonction
dérivée, d'une translatée. Application à la convolution de fonctions L2,
à la densité dans L2 du sous-espace engendré par les translatées
de la densité gaussienne. Tranformation de Hilbert.
- Valeurs propres de la transformation de Fourier dans L2,
système orthogonal total des fonctions d'Hermite.