Journal de bord de la préparation à l'écrit 2009-2010
Le journal de bord 2008-2009 est ici,
celui de 2010-2011 est là.
Algèbre et géométrie
Compléments du
Mercredi 09/09 (M. Coste) :
Espaces hermitiens. Formes sesquilinéaires, hermitiennes, produit
scalaire hermitien, norme hermitienne. Inégalités de Cauchy-Schwarz et
triangulaires (avec cas d'égalité). Orthonormalisation de Gram-Schmidt,
bases orthonormales, supplémentaire orthogonal. Adjoint d'un
endomorphisme, endomorphismes unitaires, hermitiens ; matrices dans des
b.o.n.. Endomorphisme normal, théorème spectral.
Mardi 15/09, Mercredi
23/09 (10:15-12:15 M. Coste) : Exponentielle
de matrice, surjectivité de l'exponentielle sur ℂ. Décomposition
polaire. Normes matricielles.
Mercredi 16/09 (M. Coste) :
Séries formelles, applications combinatoires.
Mercredi 30/09 (M. Coste) :
Dérivée logarithmique d'un polyôme : utilisation pour Gauss-Lucas,
pour les relations de Newton entre polynômes symétriques élémentaires
et sommes de puissance, pour le comptage de racines complexes via le
théorème des résidus. Théorème de Rouché, continuité des racines.
TD du 28/09 et du 5/10 (M. Coste) :
le début de l'épreuve 1
d'agrégation interne 2008, et une feuille sur le polynômes.
Mercredi 7/10 (M. Coste) :
Corrigé du problème 1 (Mathématiques Générales 2003).
Jeudi 8/10 (M. Coste) :
Droite projective réelle et complexe, homographies, birapport.
Mercredi 14 /10 (B. Bekka) :
Rappels concernant les anneaux factoriels; généralités sur les
anneaux de polynômes (propriété universelle, contenu,polynômes
primitifs,...);
Mercredi 21/10 (B. Bekka) :
Factorialité des anneaux de polynômes (lemme de Gauss);
Polynômes symétriques (voir feuille de TD 1)
Mercredi 4/11 (B. Bekka) :
Actions de groupes sur les algèbres de polynômes;
sous-algèbres des invariants; théoreme de finitude de Hilbert
Mercredi 18/11 (B. Bekka) :
Corrigé du problème 2 (Mathématiques Générales cuvée 1994)
Mercredis 25/11, 2, 9 et 16/12
(C. Mourougane) : Compléments d'algèbre linéaire.
Mercredi 6/01 (J. Le Borgne) :
Correction de l'écrit blanc
Mercredi 13/01 (J. Le Borgne) :
- Généralités sur les corps et extensions de corps.
- Corps de rupture et corps de décomposition.
- Construction des corps finis.
- Groupe multiplicatif d'un corps fini.
- Relations d'inclusion entre corps finis.
- Théorème de Chevalley-Warning.
Mercredi 20/01 (J. le Borgne) :
Polynômes irréductibles sur les corps finis ; dénombrement. Algorithme de Berlekamp.
Théorème des deux carrés.
Dénombrement des sous-espaces de dimension k d'un espace vectoriel de dimension n sur un corps fini.
Mercredi 27/01 (J. le Borgne) :
Arithmétique : équations diophantiennes classiques (linéaire, pythagoricienne).
Corps quadratiques, anneaux des entiers, unités d'un anneau d'entier. Application à l'équation de Pell-Fermat.
Quelques notions sur les nombres p-adiques.
Compléments des 10/2, 17/2, 3/3 et 17/3 (L. Moret-Bailly) :
- sous-groupes discrets de R^n, réseaux, covolume, théorème de Minkowski. Applications: théorèmes des deux carrés et des quatre carrés.
- groupes topologiques: définitions et propriétés générales (adhérence d'un sous-groupe, tout sous-groupe localement fermé est fermé...). Actions continues, espaces quotients (la projection est ouverte), critère de connexité via un quotient. Exemple: la sphère comme quotient de SO_n.
- formes bilinéaires: lien avec la dualité (orthogonalité, noyau...). Formes quadratiques: vocabulaire de base (isotropie...), familles et bases orthogonales. Commentaires sur les constructions de familles orthogonales (Gauss vs Gram-Schmidt). Réduction simultanée de formes quadratiques: diverses versions géométriques et matricielles, mises en garde (confusion avec la diagonalisation).
Analyse et probabilités
Compléments des
09/09, 16/09, 23/09, 30/09 (F. Malrieu) :
- Transformée de Laplace. Exemples et propriétés (voir
section 2 de la feuille
d'exercice 1).
- Equation de la chaleur et transformée de Fourier. Intégrale
à
paramètre. Espaces Lp. Polynômes orthogonaux (voir section 1 et 3 de la
feuille
d'exercice 1).
- Correction de l'écrit blanc d'analyse 1 (cuvée 2006).
- Matrice et déterminant de Gram. Déterminant de Cauchy.
Théorème de Muntz
(voir feuille
d'exercice 2).
Compléments des
07/10, 14/10, 21/10 et 04/11 (S.Breteaux) :
- Conditions de Cauchy-Riemann et interprétation "physique"
Théorème d'inversion locale holomorphe
Représentation d'un fonction holomorphe localement non constante
f(z)=f(z0)+biholomorphisme^m
Zéros isolés
Application ouverte
Principe du maximum
Conformité et holomorphie
- Lemme de Schwarz
Automorphismes du disque unité, lien avec ceux du demi-plan supérieur
Enoncé du théorème de Riemann (non démontré)
Théorème de Montel
- Transformée de Fourier de L1+L2 dans L infini+L2
Le lemme des trois droites
Le théorème de Riesz-Thorin
Application à la transformée de Fourier
Compléments des 2/12, 9/12, 10/12 (M. Pierre) :
-
Fonctions différentiables, exemples, calculs, applications (cadre des
espaces vectoriels normés),
- Le théorème des accroissements finis et ses applications
usuelles,
- Les formules de Taylor, applications au calcul des
variations,
- Théorème d'inversion locale, exemples
d'application ;
Théorème des fonctions implicites ; extrema liés (cas simple
d'une
contrainte),
- Début de discussion sur les sous-variétés de R^n :
qu'est-ce qu'une "courbe" ; définition d'une sous-variété de
R^n
Compléments du 16/12, 6/01,
13/01, 20/01 (F. Maucourant) :
- Séries de Dirichlet
- Caractères des groupes abéliens finis
- Fonctions L
- Théorème de la progression arithmétique
- Correction du sujet analyse 1989