Calendrier prévisionnel des compléments de cours de Beaulieu

Compléments de cours d'algèbre (aller au CCAN)

Anneaux factoriels

• Anneaux factoriels, divisibilité, pgcd et ppcm
• Lien entre factorialité, lemme d’Euclide, lemme de Gauß et existence des pgcd
• Contenu et lemme de Gauß
• Théorème de Gauß sur la factorialité de A[X] lorsque A est factoriel
• Application à la construction d’un isomorphisme entre PGL₂(k) et le groupe d’automorphismes de la k-algèbre k(X) des fractions rationnelles en X

Commutateurs dans les groupes symétriques et linéaires

Structure de SL(n,K):

• Génération par les transvections et lien avec la méthode du Pivot.
• Décomposition d’Iwasawa (K=ℝ) et application à la connexité.
• Action de PSL(n,K) sur les espaces projectifs et étude de quelques exemples.

Simplicité

• Simplicité des groupes alternés
• Critère de simplicité d’Iwasawa et application à la simplicité des PSL(n,k)
• Simplicité de S0(3,ℝ)

Anneau de polynômes à plusieurs indéterminées

• Définition et la propriété universelle de k[X₁,..,X_n]
• Degré partiel, degré total et polynôme homogène; formule d'Euler
• Polynômes symétriques élémentaires; théorème fondamental des fonctions symétriques, énoncé et preuve
• Formule de Newton
• Polynômes alternés
• Prolongement des identités algébriques
• Application à une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
• Application à la démonstration du théorème d'Alembert-Gauß

• Définition et propriétés de l'anneau k[[X]]
• Dérivation et application
• Plusieurs exemples: e.g. nombre de dérangements de S_n; théorème de Molien

Simplicité des PSO(n,ℝ) (avec mention du cas particulier n=4).

• Quaternions
• Propriétés générales
• Liens avec S0(3,ℝ)
• Structure de PS0(4,ℝ)

Fractions rationnelles

• Définition de k(X), degré et pôle d'une fraction rationnelle
• Décomposition en éléments irréductibles; Résidu
• Suite récurrente
• Equation différentielle; application aux nombres de Catalan

Théorèmes de Dunford-Jordan

• Versions additives : sur ℂ (diagonalisable + nilpotent), sur ℝ (semi-simple + nilpotent)
• Versions multiplicatives : (diagonalisable * unipotent) et (semi-simple * unipotent)
• Preuve par l’algorithme de Newton
• Comportement par rapport à l'exponentielle

• Algèbres de dimension finie sur un corps ; polynôme minimal d’un élément
• Exponentielle dans une k-algèbre de dimension finie (k=ℝ ou k=ℂ)
• Exemples (exp d'une matrice de carré -1, exponentielle d’un quaternion)
• Surjectivité de exp:M_n(ℂ) → GL_n(ℂ) et de exp:so_n(ℝ) → SO_n(ℝ), applications à la connexité par arcs.
• Bijection exp / log entre nilpotents et unipotents, sur k de caractéristique 0 ou supérieure ou égale à la taille des matrices

Représentations de groupes finis

• Définitions, semi-simplicité (Maschke)
• Caractères et fonctions centrales, Lemme de Schur, orthogonalité des caractères.
• Tables de caractères
• Exemples : le groupe diédral ; S₄ et le tétraèdre
• Théorème de Burnside sur la résolubilité des groupes d'ordre p^aq^b.

Représentations des groupes finis abéliens

• Caractères d’un groupe abélien fini
• Transformée de Fourier discrète
• Application à la multiplication rapide de grands entiers et de polynômes

• Compléments sur les endomorphismes semi-simples
• Compléments sur les endomorphismes cycliques (ou réguliers)
• Compléments sur les représentations de groupes ou sur les groupes de petit cardinal

• Un peu de topologie matricielle, semi-continuité du rang
• Décompositions matricielles (polaire, Cartan, Iwasawa)
• Décomposition polaire = homéomorphisme
• O_n(ℝ) est maximal parmi les sous-groupes compacts de GL_n(ℝ)

• Un peu de groupes de Lie (sous-variété, dimension)
• Théorème de Cartan-Von Neumann
• Mesure de Haar et sous-groupes compacts de GL_n(ℝ)

Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré, domaine fondamental

Un peu de formes modulaires

Compléments de cours d'analyse (aller au CCAL)

Marches aléatoires

• ruine du joueur
• temps de retour
• principe de réflexion
• théorème du scrutin

Inégalités probabilistes

• inégalités de base (Markov, Tchebychev)
• inégalité maximale de Kolmogorov
• principe de grandes déviations
• isopérimétrie
• concentration de la mesure

Théorèmes d'existence en analyse

I. Méthodes ensemblistes

• Dénombrement : théorème de Brouwer
• Surjectivité
  • Lemme des mariages et mesures invariantes par une action de groupe
  • Connexité : théorème du difféomorphisme global, d'Hadamard

Inégalités probabilistes, suite

II. Méthodes topologiques : connexité et compacité

• Trois illustrations élémentaires d'utilisation de la compacité : extrema liés, sous-groupes compacts de GL(R^d), théorème fondamental de l'algèbre
• Revue des compacts de certains espaces fonctionnels

III. Complétude

• Premières illustrations : théorème de représentation de James, projection sur un convexe dans un Hilbert, principe variationnel d'Ekeland
• Théorème de Baire et conséquences
• Ensembles G_δ et compagnie

Séance 1 : Rappels de calcul différentiel

• Différentielle, gradient, interprétation
• Théorème d'inversion locale (petits sous-groupes de GL_n, rang constant, lemme de Morse)
• Théorème des fonctions implicites avec des exemples

• Sous variétés (définition équivalentes, exemples et contre exemples, sous groupes de GL_n)
• Espace tangent (définition, exemples)
• Points critiques et extrema (extrema liés, lemme de Sard)

IV. Utilisation d'une mesure

• Théorème de Borel-Cantelli
• Loi forte des grands nombres

V. Convexité et points extrémaux

Séance 1 : Courbes

• Courbes de l'espace euclidien
• Propriétés locales (autour de la courbure)
• Propriétés globales (Jordan, isopérimétrie)

• Formule de Kac-Rice
• Lien avec la longueur d'une courbe
• Exemples

Intégration numérique

• Introduction
• Formules de quadrature et interpolation
• Estimation d'erreur
  • Cas général
  • Application aux formules classiques: Méthodes des rectangles, des trapèzes et de Simpson en fonction du degré du polynôme d'interpolation
  • Formules composées associées et estimation d'erreur

Théorème de Différentiation de Lebesgue

• Introduction
• Lemme de recouvrement
• Fonction maximale
• Espace L¹ faible
• Le théorème de Hardy-Littlewood sur les fonctions maximales
• Le théorème de différentiation de Lebesgue

Théorème de Rademacher sur les fonctions lipschitziennes

• Introduction
• Enoncé et démonstration

Formules d'Euler-Mac Laurin et conséquences (cf. Dieudonné, Calcul Infinitésimal)

• Rappel de la formule
• Préliminaires: nombres de Bernoulli.
• La constante d'Euler
• La formule de Stirling
• Formule sommatoire d'Euler-MacLaurin
  • Enoncé
  • Point de vue formel
  • Démonstration par l'intégrale de Stieltjes