À Beaulieu
Compléments de cours du
jeudi 27 février
(Isabelle Gruais )
Compléments de cours du
mercredi 26 février
(Isabelle Gruais )
Compléments de cours du
mercredi 26 février
(Karim Bekka )
Feuille d’exercices 2
Problème du
jeudi 20 février
Sujet d’analyse et probabilités 2006
Compléments de cours du
mercredi 19 février
(Isabelle Gruais )
Compléments de cours du
mercredi 19 février
(Karim Bekka )
Commentaires sur l’écrit blanc
Compléments sur les polytopes entiers
Polynôme d’Ehrhart, applications
Compléments de cours du
jeudi 13 février
(Isabelle Gruais )
Compléments de cours du
mercredi 12 février
(Francis Nier )
Compléments de cours du
mercredi 12 février
(Karim Bekka )
Feuille d’exercices 1 Réseaux et théorème de Minkowski : applications
Problème du
jeudi 6 février
Sujet de mathématiques générales 2012
(corrigé )
Compléments de cours du
mercredi 5 février
(Francis Nier )
Compléments de cours du
mercredi 5 février
(Karim Bekka )
Rappels sur la convexité
Théorèmes de Carathéodory, Lucas, Radon, Helly, Krein-Milman
Polytopes
Compléments de cours du
mercredi 29 janvier
(Francis Nier )
Compléments de cours du
mercredi 29 janvier
(Dominique Cerveau )
Exercices de géométrie (feuille )
Problème du
jeudi 23 janvier
Sujet d’analyse et probabilités 2013
Compléments de cours du
mercredi 22 janvier
(Francis Nier )
Compléments de cours du
mercredi 22 janvier
(Dominique Cerveau )
Exercices sur les corps finis (feuille )
Compléments de cours du
jeudi 16 janvier
(Frédéric Touzet )
Topologie de la convergence uniforme
Théorème de Montel et applications
Compléments de cours du
mercredi 15 janvier
(Ismaël Bailleul )
Compléments de cours du
mercredi 15 janvier
(Dominique Cerveau )
Exercices sur les anneaux (feuille )
Problème du
jeudi 9 janvier
Sujet de mathématiques générales 2009
Compléments de cours du
mercredi 8 janvier
(Ismaël Bailleul )
Compléments de cours du
mercredi 8 janvier
(Dominique Cerveau )
Exercices de théorie des groupes (feuille )
Problème du
jeudi 19 décembre
Sujet d’analyse et probabilités 1999
Compléments de cours du
mercredi 18 décembre
(Ismaël Bailleul )
Compléments de cours du
mercredi 18 décembre
(Bachir Bekka )
Suite des compléments du
11 décembre 4 décembre 27 novembre
Compléments de cours du
jeudi 12 décembre
(Frédéric Touzet )
Fonctions analytiques d’une variable réelle
Compléments de cours du
mercredi 11 décembre
(Ismaël Bailleul )
Opérateurs compacts sur un espace de Hilbert
Opérateurs de Fredholm sur un espace de Hilbert
Application à la résolution d’une EDP
Compléments de cours du
mercredi 11 décembre
(Bachir Bekka )
Suite des compléments du
4 décembre 27 novembre
Problème du
jeudi 5 décembre
Sujet de mathématiques générales 2013
Compléments de cours du
mercredi 4 décembre
(Ismaël Bailleul )
Suite des rappels des cours précédents .
Compléments de cours du
mercredi 4 décembre
(Bachir Bekka )
Suite des compléments du
27 novembre
Feuille d’exercices
sur les anneaux et séries formelles
Compléments de cours du
jeudi 28 novembre
(Frédéric Touzet )
Compléments sur les fonctions de classe C∞
Fonctions plateaux et applications
Théorème de Borel sur les séries formelles
Compléments de cours du
mercredi 27 novembre
(Ismaël Bailleul )
Suite des rappels des cours précédents .
Compléments de cours du
mercredi 27 novembre
(Bachir Bekka )
Rappels sur les groupes et les actions de groupes
Exemple d’action de groupes : équivalence de matrices
Espaces projectifs
Homographies
Action de PGLn (K) sur l’espace projectif
Birapport
Critère de simplicité d’un groupe
Exemples : simplicité du groupe alterné A5
et de PGLn (K)
Distance de Hilbert sur un convexe borné
Feuilles de TD : 1 , 2 .
Suite de la feuille
précédente et feuille d’exercices
sur les espaces euclidiens et hermitiens
Problème du
jeudi 21 novembre
Sujet d’analyse et probabilités 2004
Compléments de cours du
mercredi 20 novembre
(Ismaël Bailleul )
Suite des rappels du cours précédent .
Compléments de cours du
mercredi 20 novembre
(Matthieu Romagny )
Feuille d’exercices
sur les formes bilinéaires et quadratiques
Compléments de cours du
jeudi 14 novembre
(Matthieu Romagny )
Suite des compléments de cours du matin.
Compléments de cours du
jeudi 14 novembre
(Ismaël Bailleul )
Sous-variétés de ℝn
Théorème d’inversion locale et applications
Compléments de cours du
jeudi 14 novembre
(Matthieu Romagny )
Le groupe ℤ/2ℤ
Soit G groupe non trivial tel que
Aut(G)={1} . Alors G
est isomorphe à ℤ/2ℤ .
Soit G un quotient non trivial
de 𝔖n avec n>4 .
Alors G est isomorphe
à ℤ/2ℤ .
Soit k un corps tel qu’il existe un espace
vectoriel E de dimension
n>1 et un isomorphisme entre
E et son dual E*
indépendant d’un choix de base. Alors k est
isomorphe à 𝔽2 ,
n=2 , et l’isomorphisme est donné par la forme
bilinéaire déterminant.
Soit k un corps algébriquement clos et
k0 une sous-extension
de k avec
[k:k0 ] fini. Alors
k est extension galoisienne
de k0 , de groupe de Galois isomorphe
à ℤ/2ℤ , de plus
car(k)=0 et k=k0 (i)
avec i2 =-1 (théorème d’Artin, admis).
Compléments de cours du
mercredi 13 novembre
(Matthew Paddick )
Compléments de cours du
mercredi 13 novembre
(Matthieu Romagny )
Rappels sur l’algèbre des quaternions et utilisation
des quaternions pour construire d’une autre manière l’injection
de SO3 (ℝ)
dans PGL2 (ℂ)
Problème du
jeudi 7 novembre
Sujet de mathématiques générales 2007
(corrigé )
Compléments de cours du
mercredi 6 novembre
(Matthieu Romagny )
Suite des compléments de cours du matin.
Compléments de cours du
mercredi 6 novembre
(Matthew Paddick )
Feuille d’exercices
Compléments de cours du
mercredi 6 novembre
(Matthieu Romagny )
La sphère S2 et la droite
projective ℙ1 (ℂ) :
projection stéréographique de S2
sur ℙ1 (ℂ) ;
action sur les rotations : injection
de SO3 (ℝ)
dans PGL2 (ℂ) ;
construction explicite des sous-groupes finis
de PGL2 (ℂ) .
Feuille d’exercices
Problème du
jeudi 24 octobre
Sujet d’analyse et probabilités 2001
Compléments de cours du
mercredi 23 octobre
(Matthew Paddick )
Intégration complexe :
Théorèmes de Cauchy
Théorème de Cauchy (démontré avec f' continue),
évocation du théorème de Cauchy-Goursat
Formule intégrale de Cauchy (démontrée), analyticité des fonction holomorphes,
théorème de Morera
Critère d’holomorphie de fontions définies par une intégrale à paramètre
(démontré)
Singularités et résidus
Développement en série de Laurent, critères de classification des singularités
(démontrés)
Théorème des résidus (démontré), applications : sin(x)/x
(fait en TD), évocation de la transformée de Mellin
Compléments de cours du
mercredi 23 octobre
(Jérémy Le Borgne )
Feuille d’exercices sur les polynômes
à plusieurs indéterminées
Compléments de cours du
jeudi 17 octobre
(Matthieu Romagny )
Fin des compléments sur les polynômes en plusieurs
indéterminées :
Théorème fondamental des fonctions symétriques, énoncé et preuve
Application à la démonstration par Lagrange du théorème de
d’Alembert-Gauß (ℂ est algébriquement clos)
Algèbres de dimension finie sur un corps :
Exemples
Plongement dans les algèbres de matrices
Énoncé sans preuve du théorème de décomposition de
Dunford-Chevalley-Jordan
Exponentielle dans une k -algèbre de dimension
finie (k= ℝ ou
ℂ )
Exemples : exponentielle d’un élément de carré -1
et d’un quaternion
Application pour montrer que l’exponentielle depuis l’espace vectoriel
des matrices antisymétriques réelles vers le groupe
SOn (ℝ) est une application continue
surjective
Compléments de cours du
jeudi 17 octobre
(Bachir Bekka )
Transformation de Fourier :
Feuille de TD 3 Rappels : transformation de Fourier dans S
et S'
Preuve de théorème d’inversion de Fourier du point de vue de
S'
Distributions harmoniques
Exemples de calcul de transformées de Fourier de distributions
(vp(1/x) , fonction de Heaviside, …)
Compléments de cours du
jeudi 17 octobre
(Vincent Guirardel )
Compléments de cours du
mercredi 16 octobre
(Matthew Paddick )
Feuille d’exercices
Compléments de cours du
mercredi 16 octobre
(Jérémy Le Borgne )
Méthodes de Monte-Carlo
Cours de modélisation du
mardi 15 octobre
(Gabriel Caloz )
Valeurs propres 1
Feuille d’exercices d’algèbre linéaire
Problème du
jeudi 10 octobre
Sujet de mathématiques générales 1994
(corrigé )
Compléments de cours du
mercredi 9 octobre
(Richard Éon )
Compléments de cours du
mercredi 9 octobre
(Jérémy Le Borgne )
Fonction génératrice, transformée de Laplace
Cours de modélisation du
mardi 8 octobre
(Vincent Guirardel )
Algèbre linéaire 2
Compléments de cours du
jeudi 3 octobre
(Matthieu Romagny )
Anneau de polynômes en plusieurs indéterminées
Propriété universelle
Application à une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
Fonctions polynomiales associées (cas d’un anneau de coefficients
intègre, fini ou infini)
Factorialité et théorème de Gauß
Application à une méthode de calcul du déterminant de Vandermonde
Polynômes symétriques
Compléments de cours du
jeudi 3 octobre
(Jérémy Le Borgne )
Séries formelles à coefficients dans un anneau commutatif unitaire
Ordre, topologie, composition, éléments inversibles
Cas des séries formelles à coefficients dans un corps :
idéaux, localité de l’anneau
Applications en combinatoire et dénombrement :
comptage de solutions d’équations diophantiennes, sommes de Newton
Compléments de cours du
jeudi 3 octobre
(Vincent Guirardel )
Compléments de cours du
mercredi 2 octobre
(Ismaël Bailleul )
Théorèmes d’existence fondamentaux en analyse
Cours de modélisation du
mardi 1er octobre
(Vincent Guirardel )
Algèbre linéaire 1
Cours de modélisation du
mardi 1er octobre
(Michel Pierre )
Analyse qualitative des EDO
Problème du
jeudi 26 septembre
Sujet d’analyse et probabilités 2002
Compléments de cours du
mercredi 25 septembre
(Richard Éon )
Suite des compléments de cours
du 18 septembre
Compléments de cours du
mercredi 25 septembre
(Françoise Dal’Bo )
Suite des compléments de cours
du 18 septembre
Cours de modélisation du
mardi 24 septembre
(Ismaël Bailleul )
Théorèmes limites en probabilités
Cours de modélisation du
mardi 24 septembre
(Michel Pierre )
Équations différentielles : approximation
Feuille de TD sur les séries entières
et séries de Fourier
Compléments de cours du
jeudi 19 septembre
(Matthieu Romagny )
Anneaux factoriels, divisibilité, pgcd et ppcm
Lien entre factorialité, lemme d’Euclide, lemme de Gauß et existence des pgcd
L’anneau k[X,Y,Z,T]/(XY-ZT) n’est pas factoriel
Théorème de Gauß sur la factorialité de A[X] lorsque
A est factoriel
Application à la construction d’un isomorphisme entre
PGL2 (k) et le groupe d’automorphismes de la
k -algèbre k(X) des fractions
rationnelles en X
Compléments de cours du
jeudi 19 septembre
(Bachir Bekka )
Opérations sur les distributions tempérées :
Feuille de TD 2 Principe d’extension d’opérations de
S à S'
Dérivation
Formule des sauts en dimension 1
Exemples
Compléments de cours du
jeudi 19 septembre
(Vincent Guirardel )
Représentations des groupes finis
Compléments de cours du
mercredi 18 septembre
(Richard Éon )
Suite des compléments de cours du matin
Compléments de cours du
mercredi 18 septembre
(Richard Éon )
Sur les transformées de Fourier et quelques applications
(notes de cours )
Transformée de Fourier
Transformée de Fourier dans L1 (ℝd )
Transformée de Fourier dans S(ℝd )
Extension de la transformée de Fourier-Plancherel dans L2
Applications
Probabilités
Équations différentielles
Distributions tempérées et transformée de Fourier
L’espace des distributions tempérées
Transformée de Fourier dans S'
Compléments de cours du
mercredi 18 septembre
(Françoise Dal’Bo )
rappels autour des groupes de matrices réelles et complexes,
et des formes bilinéaires et sesquilinéaires
décomposition polaire
orthogonalisation d’une base
normes sur les matrices
sous-espaces orthogonaux dans le cadre des formes sesquilinéaires
existence de bases semi-orthonormées
Cours de modélisation du
mardi 17 septembre
(Jean-Christophe Breton )
Simulation de variables aléatoires et applications
Compléments de cours du
mardi 17 septembre
(Ismaël Bailleul )
Dualité et convexité
Cours de modélisation du
mardi 17 septembre
(Gabriel Caloz )
Systèmes linéaires
Feuille de TD sur la compacité,
voir aussi ce développement
(Sous-groupes compacts de GL(ℝd ) ) pour la solution
de l’exercice 5.
Problème du
jeudi 12 septembre
Sujet de mathématiques générales 2002
(corrigé )
Compléments de cours du
mercredi 11 septembre
(Françoise Dal’Bo )
Connexité de SL(2,ℝ) , non connexité de
SO(2,1)
Exercices sur les sous-groupes finis de O(2,ℝ)
et O(3,ℝ) (polygones réguliers, groupe du tétraèdre
régulier isomorphe à 𝔖4 )
Lien entre SL(2,ℝ) et SU(2,ℂ)
via les actions par homographies sur le demi-plan complexe et le disque
Lien entre SL(2,ℝ) et O(2,1)
via une action de SL(2,ℝ) sur les matrices
2×2 symétriques
Compléments de cours du
mercredi 11 septembre
(Bachir Bekka )
Distributions tempérées :
Feuille de TD 1 Espaces localement convexes et espaces de Fréchet
Espace de Schwartz des fonctions à décroissance rapide
Distributions tempérées
Exemples
Compléments de cours du
mercredi 11 septembre
(Françoise Dal’Bo )
Formes quadratiques, formes hermitiennes et
groupes orthogonaux : exemples et applications
Cours de modélisation du
mardi 10 septembre
(Benjamin Boutin )
Interpolation. Intégration numérique
Feuille de TD sur les séries de fonctions
Réunion de rentrée
— mercredi 4 septembre
À Ker Lann (normaliens et magistériens)
La liste des cours donnée ici n’est pas forcément complète, voir le
planning
des cours de l’ENS pour plus de détails.
Cours d’analyse du
vendredi 21 février
(Michel Pierre )
Compléments Analyse pour tous
Cours d’analyse du
lundi 17 février
(Michel Pierre )
Compléments Analyse pour tous
Cours d’algèbre du
lundi 17 février
(Jérémy Le Borgne )
Équations diophantiennes
Cours d’analyse du
vendredi 14 février
(Michel Pierre )
Compléments Analyse pour tous
Journée du
lundi 10 février
(Dominique Catoir )
Journée de préparation à l’épreuve « Agir en fonctionnaire de l’État »
Cours d’analyse du
lundi 3 février
(Michel Pierre )
Compléments Analyse pour tous
Cours d’algèbre du
lundi 3 février
(Tristan Vaccon )
Représentations de groupes
Cours d’analyse du
vendredi 31 janvier
(Michel Pierre )
Compléments Analyse pour tous
Cours d’analyse du
lundi 27 janvier
(Michel Pierre )
Compléments Analyse pour tous
Cours d’algèbre du
lundi 27 janvier
(Tristan Vaccon )
Représentations de groupes
Cours d’analyse du
vendredi 24 janvier
(Michel Pierre )
Compléments Analyse pour tous
Cours d’analyse du
lundi 20 janvier
(Michel Pierre )
Compléments Analyse pour tous
Cours d’algèbre du
lundi 20 janvier
(Arnaud Girand )
Représentations de groupes
Cours d’algèbre du
lundi 16 décembre
(Romain Basson )
Primalité et cryptographie
Cours d’analyse du
vendredi 13 décembre
(Michel Pierre )
Compléments d’analyse
Cours d’algèbre du
lundi 9 décembre
(Romain Basson )
Cyclotomie
Cours d’analyse du
vendredi 6 décembre
(Michel Pierre )
Compléments d’analyse
Cours d’algèbre du
lundi 2 décembre
(Romain Basson )
Corps finis
Cours d’analyse du
vendredi 29 novembre
(Marc Briane )
Convexité
Cours d’algèbre du
lundi 25 novembre
(Jérémy Le Borgne )
Théorie des corps 2
Corps de rupture d’un polynôme irréductible, existence et unicité à isomorphisme près
Corps de décomposition, existence et unicité à isomorphisme près
Construction des corps finis
Théorème de l’élément primitif
Cours d’analyse du
vendredi 22 novembre
(Marc Briane )
Convexité
Cours d’algèbre du
lundi 18 novembre
(Jérémy Le Borgne )
Théorie des corps 1
Définitions : corps, extensions de corps, caractéristique
Théorème de la base télescopique et formule de multiplicativité des degrés
Extensions algébriques, polynôme minimal, caractérisation des extensions finies
Cours de géométrie du
lundi 18 novembre
(Arnaud Girand )
Géométrie projective
Cours d’analyse du
vendredi 15 novembre
(Marc Briane )
Convexité
Cours d’analyse du
vendredi 15 novembre
(Michel Pierre )
Compléments d’analyse
Cours d’analyse du
vendredi 8 novembre
(Marc Briane )
Convexité
Cours d’analyse du
vendredi 8 novembre
(Michel Pierre )
Compléments d’analyse
Cours d’algèbre du
lundi 21 octobre
(Romain Basson )
Invariants de similitude 2
Cours d’analyse du
vendredi 18 octobre
(Michel Pierre )
Compléments d’analyse
Cours d’algèbre du
lundi 14 octobre
(Romain Basson )
Invariants de similitude 1
Cours d’algèbre du
lundi 14 octobre
(Arnaud Girand )
Combinatoire et dénombrement
Cours d’algèbre du
lundi 7 octobre
(Tristan Vaccon )
Algèbre linéaire effective
Convexité
Cours d’analyse du
vendredi 4 octobre
(Michel Pierre )
Compléments d’analyse
Cours d’algèbre du
lundi 30 septembre
(Tristan Vaccon )
Exponentielles de matrices
Cours d’analyse du
lundi 30 septembre
(Michel Pierre )
Compléments d’analyse
Cours d’analyse du
vendredi 27 septembre
(Michel Pierre )
Compléments d’analyse
Cours d’algèbre du
lundi 23 septembre
(Jérémy Le Borgne )
Sous-groupes distingués, groupes quotients
Suites de sous-groupes distingués, groupes résolubles
Théorème de Jordan-Hölder
Étude des p -groupes, groupe de Frattini
Convexité
Cours d’analyse du
vendredi 20 septembre
(Michel Pierre )
Compléments d’analyse
Convexité
Cours d’analyse du
vendredi 13 septembre
(Michel Pierre )
Compléments d’analyse
Convexité
(notes de cours )