Journal de bord de la préparation à l'écrit 2007-2008
Le journal de bord 2008-2009 est ici.
Algèbre et géométrie
Mercredi 19 septembre
(Michel Coste) : La cours a porté sur le groupe des
isométries affines. J'ai commencé
par faire quelques rappels et fixer des notations concernant la
géométrie
affine. J'ai parlé du théorème de
forme réduite et de la classification des
isométries en dimension 2 et 3 (avec en passant la structure
des éléments du
groupe orthogonal)
Mercredi 26 Septembre :
Engendrement du groupe des isométries. Structure de produit
semi-direct.
Mes notes de cours sont ici.
Remarques, demandes d'éclaircissement encouragées
!
Mercredi 3 Octobre :
Sous groupes finis dugroupe des isométries du plan, groupe
diédral. Exploration des petits
groupes (début). Ici des notes
sur les
petits
groupes (de nouveau, commentaires et questions
encouragés)
Mercredi 10 Octobre :
Remarques à propos de l'écrit blanc
(agrég.
interne 2004, 1e épreuve). Poursuite de l'exploration des
petits
groupes (cardinal < 16).
Jeudi 27 Septembre
(M. Coste):
première de deux séances sur la
géométrie projective (la prochaine le jeudi
11 octobre). Définition des espaces, sous-espaces
projectifs. Liaison,
affine-projectif. Utilisation d'éléments
à l'infini : Desargues, Pappus. Vous
pouvez consulter ce
texte ;
le livre de référence est
"Géométrie" de Michèle Audin.
Jeudi 11 Octobre :
toujours géométrie projective;
dualité, homographies, repère projectif,
birapport.
Lundi 1er Octobre
(TD - M.
Coste): Nous avons travaillé sur des exercices de
géométrie affine, à partir
de la feuille d'exercices de M. Audin.
Lundi 8 Octobre :
Nous avons vu
quelques exercices de géométrie euclidienne,
toujours choisi dans cette même
feuille.
Lundi 15 Octobre :
Quelques exercices de géométrie
projective des sections 4 et 5 de l'autre
feuille d'exercices de M. Audin.
Lundi 22 Octobre :
Nous ferons des exercices sur les groupes. En particulier : faire la
liste de tous les groupes d'ordre 18 ou d'ordre 20. Nous pourrons aussi
revenir sur quelques exercices de géométrie.
Mercredis 17 et
24/10, 7 et 14/11 (Goulwen Fichou)
- cours 1: sphere de Riemann, point de vue topologique;
homographies,
parties generatrices, birapport et applications.
- cours 2: formules pour le birapport, points fixes des
homographies,
involutions.
- cours 3: correction du devoir (mathématiques
générales 1991)
- cours 4: complement de geometrie complexe, equation d'une
droite du plan
complexe
Lionel Chaussade:
- Mercredi 21 novembre :
Premières propriétés sur les polynômes
multivariés : degré, factorialité,
nothérianité, polynômes homogènes. Division
avec coefficient dominant inversible, applications.
- Mercredi 28 novembre :
Polynômes symétriques, symétriques
élémentaires, relations coefficients racines, formules de
Newton. Lien entre polynômes et fonctions polynomiales.
- Mercredi 5 décembre : Résultant, discriminant. Correction et remarques sur le devoir.
- Mercredi 12 décembre : Théorème de Molien et exemples.
Idéaux de K[X1,...,Xn],
ensembles algébriques. Correction d'une feuille d'exercices. Remarques sur les partitions
de n.
Lundi 28 Janvier (TD - M. Coste) Nous avons travaillé sur le début de la 1e épreuve
de l'agrégation interne 2008 (corrigé ici)
Lundi 4 février Nous avons travaillé sur des
exercices d'algèbre linéaire.
Lundi 12 février Nous avons travaillé sur des
exercices portant sur les formes quadratiques.
Lundi 19 : Exercices sur les groupes.
Mercredis 19 décembre, 9, 16 et 23 janvier (Karim Bekka)
- Formes hermitiennes, espaces hermitiens. exercices
- Exponentielle de matrices, inversion, différentielle,
application à la construction de difféomorphismes entre les matrices
symétriques et antisymétriques, nilpotentes et unipotentes.
- Décomposition Polaire, décomposition d'Iwasawa. (point de vue topologique).
- Exercices d'algèbre linéaire (autour de l'exponentielle)
Laurent Moret-Bailly
Mercredi 30 janvier: généralités sur les formes bilinéaires et
quadratiques; bases orthogonales, lien avec Gauss et Gram-Schmidt,
formulations équivalentes. Positivité (cas réel). Adjonction.
Mercredi 6 février: commentaires sur le problème (partie I). Compléments
sur les endomorphismes auto-adjoints, l'orthogonalisation simultanée.
Coniques et quadriques: définition des quadriques affines.
A suivre:
- étude projective des coniques, éléments de classification,
orthogonalité...
- réseaux: généralités, Minkowski, applications?
Analyse et probabilités
Compléments par Hubert Hennion (12/09, 19/09, 26/09 et 03/10)
- Correction du problème de la session 89 (2x1h):
séries de Dirichet, transformation de Laplace.
- Formule d'Euler-MacLaurin aux ordres 1 et 3 et applications
à l'ordre 1 : étude de séries
numériques, prolongement de la fonction zeta, à
l'ordre 3 : développement des sommes partielles de la
série harmonique.
- Fonction Gamma prolongement à C\Z_ par produit
infini.
- Transformation d'Abel et applications séries
numériques, séries de fonctions :
série trigonométriques en sinus convergeant
uniformément mais pas normalement sur [0, 2\pi],
théorème d'Abel de convergence radiale pour les
séries entières, séries de Dirichlet.
- Tranformation de Laplace injectivité,
convergence uniforme dans un secteur (pb 1989)
Compléments par Florent Malrieu (10/10, 17/10, 24/10 et 07/11)
- Commentaires sur le sujet de 2006,
- Un peu de convolution,
- Transformée de Laplace en
probabilité,
- Autour du semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck
(équation de la chaleur, polynômes de Hermitte,
inégalité de Poincaré).
Compléments par San Vu Ngoc (14/11, 21/11, 28/11 et 05/12)
- rappels de topologie: espace topologique, espace
métrique, espace vectoriel normé; topologie
produit, théorème de Tychonoff (cas
dénombrable).
- correction du sujet d'analyse 2004.
- compléments autour du
théorème d'Arnold sur les difféos
analytiques de S¹. En particulier:
- orbites des rotations du cercle
- approximation des réels par les rationnels,
fractions continues, nombres diophantiens
- séries de Fourier, relations entre
décroissance exponentielle des coefficients et domaine
d'analyticité
Compléments par Bachir Bekka (12/12, 19/12, 9/1 et 16/1)
- rappels sur les séries de Fourier : noyau de Dirichlet, noyau de Fejer,
approximations de l'identité, théorèmes de convergence des séries de
Fourier, théorie L2.
- rappels sur la transformation de Fourier : formule d'inversion, theoreme
de Plancherel, unification series de Fourier/transformation de Fourier
par le formalisme des algèbres de Banach (caractères, transforée
de Fourier-Gelfand).
- correction du sujet d'analyse 2002.
- autour de la théorie des ondelettes et de l'analyse multirésolution
Compléments du jeudi par Hubert Hennion
- 13-12 Compacts autosimilaires. Cas de l'ensemble de Cantor ;
mesure de probabilité sur cet ensemble associée à l'itération
de transformations affines aléatoires.
- 10-01 Caractérisation des fonctions continues sur R dont les translatées
engendrent un espace
vectoriel de dimension finie. La convergence vers une masse de Dirac.
- 24-01 La convergence vers une masse de Dirac (suite et fin).
Transformation de Hilbert et transformation de Fourier dans L2.