Correction du problème d’analyse n°6
Les journaux des autres années sont ici.
Pour les compléments de cours donnés à l’ENS Rennes, voir le planning des cours de l’ENS.
Pour le prévisionnel des compléments de cours donnés à Beaulieu, voir ici.
Correction du problème d’analyse n°6
Interprétation du laplacien, du jacobien et de la divergence.
Un peu de formes modulaires
Fonctions harmoniques : problème de Dirichlet, lien avec l’holomorphie, équivalence avec la propriété de la moyenne.
Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré, domaine fondamental
Invariance de l’intégrale de chemin par homotopie : 3 démonstrations. Application à la formule de Cauchy et résultats de base de l’analyse complexe.
* Un peu de groupes de Lie (sous-variété, dimension) * Théorème de Cartan-Von Neumann * Mesure de Harr et sous-groupes compacts de GL_n(ℝ)
Formes quadratiques * Formes non dégénérées, orthogonalité, adjoint * Classification sur ℂ, ℝ, corps finis * Isométries et théorie de Witt * Isotropie ; plans hyperboliques, groupe de Witt
Géométries * Une géométrie vue comme une action de groupe * Orbites, transitivité et invariants * Exemples
Formules d’Euler-MacLaurin et conséquences
* Rappel de la formule
* Préliminaires : nombres de Bernoulli
* La constante d’Euler
* La formule de Stirling
* Formule sommatoire d’Euler-MacLaurin
* Énoncé
* Point de vue formel
* Démonstration par l’intégrale de Stieltjes
Bibliographie :
* Dieudonné, _Calcul infinitésimal_* Un peu de topologie matricielle, semi-continuité du rang * Décompositions matricielles (polaire, Cartan, Iwasawa) * Décomposition polaire = homéomorphisme * O_n(ℝ) est maximal parmi les sous-groupes compacts de GL_n(ℝ) Feuille d’exercices : topomat.pdf
Équations diophantiennes * Équations linéaires * Comptage de solutions * Méthodes géométriques, triplets pythagoriciens * Méthodes algébriques, équations de Pell-Fermat, de Mordell : anneaux d’entiers de corps de nombres
Suite du TD précédent
Théorème de Rademacher sur les fonctions lipschitziennes * Introduction * Énoncé et démonstration
Sujet d'écrit Analyse et Probabilités 2013 (espaces de Müntz)
Théorème de différentiation de Lebesgue * Introduction * Lemme de recouvrement * Fonction maximale * Espace L^1 faible * Le théorème de Hardy-Littlewood sur les fonctions maximales * Le théorème de différentiation de Lebesgue
Intégration numérique
* Introduction
* Formules de quadrature et interpolation
* Estimation d’erreur
* Cas général
* Application aux formules classqies : méthodes des rectangles, des trapèzes
et de Simpson en fonction du degré du polynôme d’interpolation
* Formules composées associées et estimation d’erreur* Caractères d’un groupe abélien fini, groupe dual * Transformée de Fourier (cas abélien) * Transformée de Fourier discrète * Application à la multiplication rapide de grands entiers et de polynômes
TD d’analyse : TD_gausscircle.pdf
Théorème d’échantillonnage des signaux à spectre borné
* Exemples et applications du théorème de Paley-Wiener-Schwartz pour la résolution d’une EDP. * Exemples d’autres résultats de type Paley-Wiener
TD sur les séries formelles OR_TD8.pdf
Représentations des groupes finis abéliens * Décomposition de la représentation régulière * Transformée de Fourier (cas non abélien) * Tables de caractères * Exemples : 𝔖_3 ; 𝔖_4 et le tétraèdre (exercice 8.12) Notes de cours : representations.pdf
Coniques affines euclidiennes, ellipse de Steiner
Feuille de TD sur séries trigo et séries de Fourier : TDagreg2015-Fourier.pdf
Suite du cours précédent
Théorème de Paley-Wiener pour les fonctions et théorème de Paley-Wiener-Schwartz pour les distributions à support compact
Coniques
Feuille de TD sur les corps finis : OR_TD7.pdf (exercices 1 à 4 et 6)
* Transformation de Laplace ; * phase stationnaire ; * transformation de Fourier-Laplace.
Fonctions convexes
Feuille de TD sur les corps finis : OR_TD6.pdf (exercices 1 à 4)
* Transformation de Fourier globale, espaces de Schwartz, théorème de Plancherel ; * distributions, exemples d’applications.
Suite du cours précédent
* Intégrales à paramètres, cas continu, dérivable, holomorphe ; exemples. * Transformation de Fourier sur le tore (séries de Fourier), noyaux de Dirichlet, de Poisson, … ; applications.
Représentations de groupes finis * Définitions, semi-simplicité (Maschke) * Caractères et fonctions centrales, lemme de Schur, orthogonalité des caractères * Décomposition canonique d’une représentation Notes de cours : representations.pdf
Suite de la dernière feuille
Ensembles convexes en dim finie : points extrémaux, caractérisation des convexes bornés d’intérieur non vide, hyperplans d’appui, projection sur un convexe.
Algèbres de division : * quaternions généralisés * algèbres de division sur ℝ (théorème de Frobenius) * octonions
Feuille de TD sur l’algèbre bilinéaire : OR_TD5.pdf (exercices 1 et 2)
Théorie des invariants : * algèbres de polynômes invariants sous l’action d’un groupe * Exemples : polynômes symétriques, polynôme caractéristique, discriminant d’une forme quadratique, … * Représentations du groupe symétrique et dualité de Schur-Weyl
Rappels de topologie : * convergence simple, sur tout compact, uniforme (théorème de Tychonoff) ; * L^p, presque partout, en mesure (théorème de convergence dominée) ; * faible, préfaible, espace réflexif (théorème de Banach Alaoglu et de Kakutani). Comparaison de ces convergences (exemples et contre-exemples). Théorème de Riesz-Fréchet, dualité L^p/L^q, preuve.
* Cercle de convergence des séries entières : points réguliers/singuliers, existence d’au moins un point singulier, prolongement par continuité. * Application : coupure d’une série entière et théorème de Steinhaus (développement possible) : en perturbant aléatoirement les arguments des termes de la série entière, le cercle de convergence est presque sûrement une coupure. * Feuille d’exercices n°2 (début) GB_planche_agreg_2.pdf
Feuille « Séparabilité du dual. Difféomorphismes » distribuée deux semaines avant. Prochaine feuille de TD : TDAgreg1516_5.pdf (« Notions de mesures. Polynômes trigonométriques »)
Suite du cours précédent.
Rendu et commentaires des copies et suite de la feuille n°1
Représentations des algèbres associatives : * Exemples d’algèbres associatives * Algèbres semi-simples et algèbres simples * Représentations irréductibles et lemme de Schur * Structures des algèbres semi-simples de dimension finie (théorèmes de Wedderburn et Burnside)
Feuille de TD sur les corps finis : OR_TD4.pdf (exercices 1 et 2)
* Topologie sur les espaces des fonctions holomorphes : stabilité de la notion d’holomorphie par convergence uniforme sur les compacts, théorème de Montel. * Feuille d’exercices n°1 GB_planche_agreg_1.pdf
Valeurs propres 1
Cyclotomie
1. Polynômes et extensions cyclotomiques
* Irréductibilité
* Extensions cyclotomiques, degré, automorphismes
* Factorisation des polynômes cyclotomiques sur les corps finis
2. Applications
* Théorème de Kronecker sur les polynômes à coefficients entiers dont les
racines sont de module 1
* Version faible du théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans les
progressions arithmétiques
* Théorème de Wedderburn
* Ordre des éléments dans GL_n(ℚ) ; théorème de Brauer sur les matrices de
permutation semblablesExercices 1 et 2 de la feuille sur le calcul différentiel. Prochaine feuille de TD : TDAgreg1516_4.pdf (« Séparabilité du dual. Difféomorphismes »)
* Fonctions analytiques réelles : définitions, exemples, propriétés de base, théorèmes de prolongements * Fonctions analytiques complexes : leur lien avec l’holomorphie par la formule de Cauchy, théorèmes de prolongements (les mêmes) et leur lien avec l’analyticité réelle ; détermination analytique du log sur des ouverts simplement connexes.
Exponentielle * Algèbres de dimension finie sur un corps ; polynôme minimal d’un élément * Exponentielle dans une k-algèbre de dimension finie (k=ℝ ou k=ℂ) * Exemples (exponentielle d’une matrice de carré -1, exponentielle d’un quaternion) * Surjectivité de exp: M_n(ℂ) → GL_n(ℂ) et de exp: so_n(ℝ) → SO_n(ℝ), applications à la connexité par arcs * Bijection exp / log entre nilpotents et unipotents, sur k de caractéristique 0 ou supérieure ou égale à la taille des matrices Notes de cours : jordan_chevalley.pdf
Théorèmes de Dunford-Jordan * Versions additives : sur ℂ (diagonalisable + nilpotent), sur ℝ (semi-simple + nilpotent) * Versions multiplicatives : (diagonalisable × unipotent) et (semi-simple × unipotent) * Preuve par l’algorithme de Newton * Comportement par rapport à l’exponentielle Notes de cours : jordan_chevalley.pdf
Zéros de polynômes aléatoires * Formule de Kac-Rice * Lien avec la longueur d’une courbe * Exemples
Fractions rationnelles * Définition de k(X), degré et pôle d’une fraction rationnelle * Décomposition en éléments irréductibles ; résidu * Suites récurrentes * Équations différentielles
Méthodes de Monte-Carlo
Équations différentielles : approximation 1. Quelques méthodes classiques : Euler explicite et implicite, Heun, Crank Nicolson, Runge-Kutta 4 2. Convergence de la méthode d’Euler explicite : convergence, consistances, stabilité 3. En pratique : limitations des méthodes explicites (problèmes raides, systèmes hamiltoniens)
Feuille de TD sur les groupes : OR_TD3.pdf (exercices 1 à 3)
Courbes * Courbes de l’espace euclidien * Propriétés locales (autour de la courbure) * Propriétés globales (Jordan, isopérimétrie)
Utilisation d’une mesure * Théorème de Borel-Cantelli * Loi forte des grands nombres Convexité et points extrémaux
* Pavages périodiques * Formes quadratiques, formes sesquilinéaires * Isomorphisme entre SO^0(2,1) et PSL_2(ℝ)
Théorèmes limite en probabilités
Suite de la feuille sur les espaces vectoriels normés exercices 4 et 5). Feuille de TD sur le calcul différentiel : TDAgreg1516_3.pdf
* Sous-groupes finis de SO_3(ℝ) * Géométrie affine, groupe des transformations affines * Polygones et polyèdres réguliers * Lien avec les sous-groupes finis de O_2(ℝ) et O_3(ℝ)
Sous-variétés de l’espace euclidien * Sous-variétés (définitions équivalentes, exemples et contre-exemples, sous-groupes de GL_n) * Espace tangent (définition, exemples) * Points critiques et extrema (extrema liés, lemme de Sard)
Rappels de calcul différentiel * Différentielle, gradient, interprétation * Théorème d’inversion locale (petits sous-groupes de GL_n, rang constant, lemme de Morse) * Théorème des fonctions implicites avec des exemples
Complétude * Premières illustrations : théorème de représentation de James, projection sur un convexe dans un Hilbert, principe variationnel d’Ekeland * Théorème de Baire et conséquences * Ensembles G_δ et compagnie
* Réduction des éléments de O_n(ℝ) * Compacité de O_n(ℝ), connexité par arcs de SO_n(ℝ) * Sous-groupes finis de O_2(ℝ) * Groupes diédraux, notion de produit semi-direct * Sous-groupes finis de GL_n(ℝ) Bibliographie : * Goblot, _Thèmes mathématiques_ * Caldero Germoni, Histoire hédoniste de groupes * Tauvel * Bouvier Richard, Groupes * Arnaudiès, Cinq polyèdres * Alessandri, Thèmes de géométrie
Algèbre linéaire 2
1. Suite du cours précédent sur le pivot de Gauß
1. Résolution simultanée de systèmes, inversion
2. Décomposition LU(P)
3. Décomposition de Choleski, exemple des moindres carrés
4. Décomposition QR et algorithme de (Gram-)Schmidt
2. Matrices à coefficients dans un anneau intègre (ℤ ou K[X])
1. Méthodes modulaires
2. Algorithme de Gauß-Bareiss
3. Calcul du polynôme caractéristique : méthode de Le Verrier,
méthode de la matrice adjointe
4. Utilisation de la forme de HessenbergChaînes de Markov 1
Feuille de TD sur les polynômes : OR_TD2.pdf (exercices 1 à 3)
Méthodes topologiques : connexité et compacité * Trois illustrations élémentaires d’utilisations de la compacité : extrema liés, sous-groupes compacts de GL_d(ℝ), théorème fondamental de l’algèbre * Revue des compacts de certains espaces fonctionnels
Simplicité des PSO_n(ℝ) (avec mention du cas particulier n=4). * Quaternions * Propriétés générales * Lien avec SO_3(ℝ) * Structure de PSO_4(ℝ)
Algèbre linéaire 1
1. Introduction
1. Notion de complexité d’algorithmes
2. Exemple de la multiplication matricielle,
multiplication de Strassen
3. Exemples de problèmes à résoudre en algèbre linéaire
4. Algorithmes peu utilisables en grande dimension :
développement du déterminant, formules de Cramer
2. Pivot de Gauß, variantes, et algorithmes apparentés
1. Opérations sur les lignes et colonnes
2. Le pivot de Gauß, réduction à la forme triangulaire ou diagonale
3. Utilisations : déterminant, systèmes Ax=b, complexité
Bibliographie :
* H. Cohen, _A Course in Computational Algebraic Number Theory_
* T. Cormen et al., _Introduction to Algorithms_
* E. Durand, _Solutions numériques des équations algébriques_, tome 2Analyse qualitative des EDO 1. Motivations 2. Autour de l’existence et de l’unicité : théorème de Cauchy-Lipschitz, du local au global, positivité des solutions, méthode des rectangles invariants 3. Portrait de phase et comportement qualitatif : points réguliers et redressement du flot, points singuliers, stabilité dans le cas linéaire
Fin de la feuille précédente (topologie de ℝ), exercices 1 et 2 de la feuille : TDAgreg1516_2.pdf
Inégalités probabilistes, suite
Suite du cours précédent.
Anneau de polynômes à plusieurs indéterminées : * Définition et propriété universelle de k[X_1,..,X_n] * Degré partiel, degré total et polynôme homogène ; formule d’Euler * Polynômes symétriques élémentaires ; théorème fondamental des fonctions symétriques, énoncé et preuve * Formule de Newton * Polynômes alternés * Prolongement des identités algébriques * Application à une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton * Application à la démonstration du théorème d’Alembert-Gauß Séries formelles : * Définition et propriétés de l’anneau k⟦X⟧ * Dérivation et application * Plusieurs exemples : nombre de dérangements de 𝔖_n ; théorème de Molien
Simplicité : * Simplicité des groupes alternés * Critère de simplicité d’Iwasawa et application à la simplicité des PSL_n(k) * Simplicité de SO_3(ℝ)
Théorèmes d’existence en analyse
Méthodes ensemblistes
* Dénombrement : théorème de Brouwer
* Surjectivité
* Lemme des mariages et mesures invariantes par une action de groupe
* Connexité : théorème du difféomorphisme global, d’HadamardTransformées exponentielles de loi
Inégalités probabilistes : * inégalités de base (Markov, Tchebychev) * inégalité maximale de Kolmogorov * principe de grandes déviations * isopérimétrie * concentration de la mesure
Feuille de TD d’algèbre linéaire : OR_TD1.pdf (exercices 1 à 5)
Suite du cours précédent.
Marches aléatoires : * ruine du joueur * temps de retour * principe de réflexion * théorème du scrutin
Suite du cours précédent.
Commutateurs dans les groupes symétriques et linéaires Structure de SL_n(K) : * Génération par les transvections et lien avec la méthode du Pivot * Décomposition d’Iwasawa (K=ℝ) et application à la connexité * Action de PSL_n(K) sur les espaces projectifs et étude de quelques exemples
Simulation de variables aléatoires et applications
Anneaux factoriels : * Anneaux factoriels, divisibilité, pgcd et ppcm * Lien entre factorialité, lemme d’Euclide, lemme de Gauß et existence des pgcd * Contenu et lemme de Gauß * Théorème de Gauß sur la factorialité de A[X] lorsque A est factoriel * Application à la construction d’un isomorphisme entre PGL_2(k) et le groupe d’automorphismes de la k-algèbre k(X) des fractions rationnelles en X
Interpolation. Intégration numérique.
Feuille de TD : TDAgreg1516_1.pdf