Journal de bord de la préparation à l'écrit 2012-2013
Le journal de bord 2011-2012 est ici,
celui de 2013-2014 est là.
Algèbre et géométrie
TD des 10 et 24 septembre à
Beaulieu
(M. Coste) :
Une feuille d'algèbre
linéaire, une feuille
sur les polynômes à plusieurs variables.
Cours des 19 et 26 septembre (V. Guirardel) :
- Normes matricielles, rayon spectral, series entieres matricielles,
exponentielle de matrices, image de l'exponentielle.
- Matrices compagnon, matrices cycliques, decomposition de Frobenius,
changement de corps, decomposition de Jordan
Cours du 27 septembre (M. Coste) :
- Séries formelles : définition, opérations, composition,
inversibilité, applications en combinatoire et aux relations de Newton.
Notes de cours.
- Droite projective réelle ou complexe : groupe des homographies
(birapport dans un prochain cours).
Cours du 27 septembre (M. Romagny) :
Anneaux de polynômes en n
variables à coefficients dans un anneau (commutatif unitaire) A, propriété universelle, fonction
polynomiale associée dans les cas A
intègre infini et A égal à un
corps fini, action du groupe symétrique par permutation des variables,
fonctions symétriques élémentaires, théorème fondamental des fonctions
symétriques (A quelconque),
application à un théorème de Kronecker sur les polynômes à coefficients
entiers dont toutes les racines complexes sont de module au plus 1.
Compléments de cours à Ker Lann
24/09 (J. Le Borgne) : Théorie des groupes. - Autour des notions
de sous-groupes distingués et de groupes quotients ; - Groupes
résolubles ; - Théorème de Jordan-Hölder
08/10 (J. Le Borgne) : Théorie des
corps. - Définitions : corps, caractéristique, extensions de corps. -
Résultats élémentaires : formule de multiplicativité des degrés,
extensions algébriques, extensions finies. - Corps de décomposition.
1/10 (T. Vaccon) : exponentielle de
matrice : généralités, calcul de l'exponentielle
d'une matrice diagonalisable par polynôme d'interpolation (en les
valeurs propres), deux démonstrations de la surjectivité de
l'exponentielle : une par décomposition de Dunford et l'autre par
inversion locale et connexité ;
8/10 (T. Vaccon) : réduction,
décomposition de matrices : réduire une matrice de manière
effective (en échelonnant les lignes de
XIn - A, etc...), et algorithme (méthode
de Newton) pour calculer la décomposition de Dunford.
Cours du 11, 25 octobre (M. Coste) :
- Birapport, conjugaison harmonique, conservation par homographie des
cercles et doites dans P1(C),
groupe circulaire, alternative de Steiner.
- Représentations de groupes finis : cas abélien. Décompostion d'une
représentation en caractères G
→ C*, groupe dual Ĝ, orthogonalité des caractères
irréductibles, Ĝ base
orthonormale de CG, bidual. Théorème de structure des
groupes abéliens finis via la dualité. Transformation de Fourier,
explicitation pour Z/nZ.
Transformée de Fourier rapide, application à la multiplication des
polynômes.
Cours du 11 octobre (M. Romagny) :
- forme normale de Smith des matrices à coefs dans un anneau principal,
énoncé + preuve
- un exemple explicite de matrice (3,2) à coefs dans Z ; un exemple de calcul de facteurs
invariants d'un endomorphisme d'un k-ev
donné par une matrice (3,3)
- théorème de la base adaptée, énoncé + preuve
- théorème de structure des modules de type fini, énoncé... sans
preuve, faute de temps
- cas particulier de l'énoncé précédent pour A=Z
et les espaces vectoriels avec endomorphisme.
Cours des mercredi 10, 17, 24 octobre et 7
novembre (F. Dal'bo) autour du problème de Mathématiques
Générales 2008.
Programme sous forme d'exercices sur les themes suivants::
Groupes : sous groupes finis matriciels, groupes diedraux, groupes
d'isometries
Airthmetique: indicatrice d'Euler, polynomes cyclotomiques
Réseaux de Rn, pavages du plan, groupes
discrets d'isometries.
Compléments de cours à Ker Lann
15 et 22/10 (J. Le Borgne) :
- Corps de décomposition : définition, théorème d'existence et unicité à
isomorphisme près. Théorème de l'élément primitif (seulement en
caractéristique 0). Constructions à la règle et au compas : théorème de
Wantzel.
- Corps finis : construction. Cyclicité du groupe multiplicatif.
Existence de polynômes irréductibles de tout degré, calculs pratiques
dans les corps finis. Factorisation de polynômes : algorithme de
Berlekamp.
TD du 22 octobre (Beaulieu
- M. Coste) : Début d'un problème sur les endomorphismes d'un
espace hermitien.
Tronc commun option 25/10 (M. Coste) :
Résultant, matrice de Sylvester, expression en fonction des racines,
applications (systèmes d'équations polynomiales, entiers
algébriques, implicitation, transformation des équations).
Cours du 25/10 (M. Romagny)
- divisibilité, pgcd, ppcm, irréductibilité,
- anneaux factoriels,
- conditions équivalentes pour les anneaux vérifiant (I) et (E) : être
factoriel, vérifier le lemme d'Euclide, vérifier le lemme de Gauss,
posséder les pgcd de ses éléments,
- théorème de Gauss : A factoriel implique A[X] factoriel,
- application : le groupe des K-automorphismes du corps des fractions
rationnelles K(X) est isomorphe à PGL_2(K).
TD des 5 et 12 novembre (Beaulieu - M. Coste) : Une feuille
d'exercices sur les groupes
Cours du 14 novembre (M. Coste) :
Fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps. Décomposition
en éléments simples : base de K(X). Applications : déterminant de
Cauchy, Nullstellensatz sur C. Dérivée logarithlmique ; applications :
Gauss-Lucas et disques de Jensen, relations de Newton pour mémoire,
comptage des racines à l'intérieur d'un disque, théorème de Rouché,
continuité des racines.
Compléments de cours à Ker Lann,
12 et 19 novembre (J. Le Borgne) :
Combinatoire et dénombrement : formule de Möbius et applications,
utilisation d'actions de groupes (exemple : nombre de sous-espaces de
dimension fixée dans F_q^n), un peu de théorie de Ramsey.
Géométrie projective : définitions, description de P^n(K), coordonnées
homogènes, courbes projectives (exemple : coniques).
TD du 19 novembre (Beaulieu - M. Coste) : début de la première épreuv d'agrégation
interne 2004. Ici corrigé du jury.
Cours des 21, 28 novembre et 5 décembre (M.
Coste) :
- Coniques, quadriques réelles. Définition par l'équation, forme
matricielle de l'équation, conique par 5 points. Forme réduite et
classification affine. Invariants pour l'action du groupe affine : lien
avec les signatures de la forme quadratique homogénéisée et la partie
quadratique de l'équation.
- Groupe des isométries affines. Rappel de géométrie affine. Forme
réduite et classification des isométries en dimension 2 et 3.
Générateurs du groupe des isométries, des isométries affines.
- Commentaires sur le problème de Mathématiques Générales 1993 :
fonctions vérifiant des équations différentielles algébriques sur C,
solutions holomorphes d'une équation fonctionnelle, quelques résultats
sur les fractions rationnelles et polynômes. Corrigé ici.
TD des 26 novembre et 3 décembre (Beaulieu
- M. Coste) : une feuille
sur les formes quadratiques.
Compléments de cours à Ker Lann,
17 décembre (R. Basson) :
Cryptographie asymétrique et les tests de primalité.
- exponentiation modulaire, protocole de Diffie-Hellman et système RSA ;
- carrés modulo p (carrés dans un corps fini, symboles de Legendre et
Jacobi, loi de réciprocité) ;
- tests de primalité (Fermat, Solovay-Strassen, Miller-Rabin et Lucas).
Cours des 12 et 19 décembre, 9 et 16 janvier
(J. Le Borgne) :
- Remarques concernant le sujet (MG94), invariants d'une algèbre de
polynômes sous l'action de certains groupes.
- Polynômes en plusieurs indéterminées : structure, rappels sur la
notion
de somme directe, polynômes homogènes (caractérisation, dimension),
polynômes symétriques (méthode de calcul de l'expression en fonction
des polynômes symétriques élémentaires).
- Feuille d'exercices
sur les polynômes
- Géométrie affine : espaces affines, transformations affines,
barycentres. Coordonnées barycentriques. Dans le plan affine, lien
entre coordonnées barycentriques, aires et coordonnées cartésiennes.
Points remarquables du triangle.
Cours à Ker Lann
le
21 janvier (J. Le Borgne) :
Géométrie et actions de groupes. Un peu de géométrie sur P1(C) et sur
le demi-plan de Poincaré. Classification des coniques sous l'action de
différents groupes. Remarques autour de quelques développements
classiques (alternative et ellipse de Steiner, groupe circulaire,
action de SL(2,Z) sur H).
Cours des 23, 30 janvier 6 et 13 février (M. Romagny)
Correction de la partie 1 de l'écrit blanc du 17/01/2013 (sujet MG 2012), et rappels sur la convexité.
Correction de la partie 2 de l'écrit blanc.
Feuille d'exercices sur les barycentres et les droites
remarquables du triangle
Feuille d'exercices sur les polyèdres
TD des 10 et 17 décembre, et 14, 21 et 28 janvier
(Beaulieu
— L. Fourquaux)
Feuille d’exercices
Analyse et probabilités
Cours, 12, 19 et 26 Septembre (I.
Bailleul):
Convexité : inegalites de convexité, dualite et représentation
des formes linéaires dans les espaces de Banach lisses et uniformement
convexes, application au théorème de Riesz dans un espace de Hilbert et
à la dualite Lp-Lq. Convexité et théorèmes de points fixes : Brouwer
via la méthode de dénombrement de Sperner, Schauder et applications.
Cours des12 et 19 Septembre (I. Bailleul)
: Sous-variétés de Rn et théorème d'inversion
locale. Notes de
cours.
Cours des 11, 18, 25 septembre et 1er octobre
à Ker Lann (R. Texier-Picard) :
Convexité
- partie convexe d'un espace vectoriel, propriétés élémentaires,
théorème fondamental de la géométrie affine (admis),
- enveloppe convexe, théorème de Gauss-Lucas, théorème de Carathéodory,
enveloppe convexe d'un compact
- jauge d'un convexe, homéomorphisme avec la boule unité (evn)
- théorème de projection : cas hilbertien, remarque sur le cas evn,
applications (théorème de Schauder, théorème de Stampacchia)
- théorèmes de séparation : cas hilbertien, cas evn (sans
démonstration), corollaires (caractérisation des sous-espaces denses,
lemme de Farkas-Minkowski non démontré)
- points extrêmaux et hyperplan d'appui : existence d'un hyperplan
d'appui en dimension finie, théorème de Minkowski (dim finie).
TD à Beaulieu
(T. Hmidi) :
TD 17 septembre : suites et séries de fonctions: convergence simple,
uniforme, normale. Régularité des séries de fonctions. Séries
alternées, Critère d'Abel,..
TD 22 septembre : série entière et série de Fourier: rayon de
convergence et critères de D'Alembert, Cauchy et formule de Hadamard.
Etude de la convergence sur le bord. Notions de points réguliers et
singuliers, extension holomorphe. Séries de Fourier, noyaux de
Dirichlet et Féjer. Convergence des séries de Fourier.
A suivre, les 8 et 15 Octobre : Intégrales à paramètre: convergence,
continuité et dérivabilité. Usage des intégrales à paramètre pour
calculer certaines intégrales classiques. Etude de la fonction d'Airy.
Formule sommatoire de Poisson.
Cours des 10 , 17, 24 Octobre et 7 Novembre
(B. Bekka):
Algèbres de Banach: exemples (algèbres d'opérateurs,
algèbres de fonctions continues, algèbres de fonctions holomophes,
algèbres de convolution,...), groupe des éléments inversibles,
étude de l'inversibilité, spectre et ensemble résolvant,
existence de valeurs spectrales,
Théorème de Gelfand-Mazur, formule du rayon spectral
Algèbres de Banach commutatives: idéaux, quotients, caractères,
transformée de Fourier-Gelfand, exemple de l'algèbre de Wiener
des
séries de Fourier absolument convergentes.
Opérateurs compacts: rappels; exemples (opérateurs intégraux)
Opérateurs de Fredholm: définitions, exemples (perturbations
compactes
de l'opérateur identité, opérateurs de décalage); indice d'un opérateur
de Fredholm;
additivité de l'indice; lien avec le sujet d'analyse 2009
(opérateurs de Toeplitz)
Feuille 1 et Feuille 2 d'exercices sur les algèbres de Banach.
Cours des 14, 21, 28 novembre et 5 décembre
(C-E. Bréhier):
Thème du cours: Systèmes dynamiques
Généralités: suites xn+1 = f(xn); convergence.
Théorème du point fixe
de Banach, cas à paramètre (continu; cas de classe Ck par le
théorème des fonctions implicites).
Nature des points fixes: attractif, répulsif, super-attractif; cas
limites. Technique de recherche d'équivalents par le théorème de
Cesaro.
Utilisation de propriétés de monotonie, de convexité. Exemple:
probabilité
d'extinction du processus de Galton-Watson.
Orbites. Orbites denses: rotations d'angle irrationnel. Suites
équiréparties.
Orbites périodiques. Théorème de Sarkovskii: énoncé sans preuve du cas
général; preuve du résultat "3-cycle implique chaos".
Utilisation des suites itérées pour la recherche de solutions
d'équations
f(x)=0. Méthode de Newton: un résultat de convergence; discussion sur
les
avantages et les inconvénients de la méthode.
Correction du sujet AP 2004: notamment lien rayon spectral/ normes
subordonnées et détails sur certaines propriétés des automorphismes
hyperboliques abordées dans le problème.
Cours des 12 et19 décembre, 9 et 16 janvier
(J. Angst)
1 - Sur la transformée de Fourier
- Résolution des équations de la chaleur et des ondes en Fourier
- Inégalité d'incertitude d'Heisenberg, inégalité d'incertitude de
Bourgain
2 - Sur la transformée de Laplace
- Calcul des transformées de variables usuelles
- Propriétés simples de la transformée de Laplace
- Inégalité de Chernov
3 - Correction du problème
4 - Autour du semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck
- Propriété de semi-groupe et générateur infinitésimal
- Invariance, symétrie et contraction
- Polynômes de Hermite, décomposition du semi-groupe
d’Ornstein-Uhlenbeck
Enoncé des rappels /
exercices du cours. Corrigé.
Cours des 23 et 30 janvier, 6 et 13 février
(N. Popoff) :
Intégration, Espaces L^p, relations entre les L^p sur un espace de
mesure finie, interpolation. Distributions et L^p : espaces de Sobolev,
injections de Sobolev en 1D, inégalité de Poincarré en 1D.
Espaces de Banach : applications du théorème d'Ascoli et du graphe
fermé.
Equations différentielles : Problème de Cauchy, dépendance des
solutions par rapport aux paramètres, perturbations d'une équation
différentielle.