Journal de bord 2013-2014

Le journal de bord 2012-2013 est ici, celui de 2014-2015 est .

À Beaulieu

Compléments de cours du (Isabelle Gruais)

Compléments de cours du (Isabelle Gruais)

Compléments de cours du (Karim Bekka)

Feuille d’exercices 2

Problème du

Sujet d’analyse et probabilités 2006

Compléments de cours du (Isabelle Gruais)

Compléments de cours du (Karim Bekka)

Compléments de cours du (Isabelle Gruais)

Compléments de cours du (Francis Nier)

Compléments de cours du (Karim Bekka)

Problème du

Sujet de mathématiques générales 2012 (corrigé)

Compléments de cours du (Francis Nier)

Compléments de cours du (Karim Bekka)

TD du (Basile Pillet)

Compléments de cours du (Francis Nier)

Compléments de cours du (Dominique Cerveau)

TD du (Basile Pillet)

Exercices de géométrie (feuille)

Problème du

Sujet d’analyse et probabilités 2013

Compléments de cours du (Francis Nier)

Compléments de cours du (Dominique Cerveau)

TD du (Basile Pillet)

Exercices sur les corps finis (feuille)

Compléments de cours du (Frédéric Touzet)

Compléments de cours du (Ismaël Bailleul)

Compléments de cours du (Dominique Cerveau)

TD du (Basile Pillet)

Exercices sur les anneaux (feuille)

Problème du

Sujet de mathématiques générales 2009

Compléments de cours du (Ismaël Bailleul)

Compléments de cours du (Dominique Cerveau)

TD du (Basile Pillet)

Exercices de théorie des groupes (feuille)

Problème du

Sujet d’analyse et probabilités 1999

Compléments de cours du (Ismaël Bailleul)

Compléments de cours du (Bachir Bekka)

Suite des compléments du , du et du .

TD du (Dominique Cerveau)

Compléments de cours du (Frédéric Touzet)

Fonctions analytiques d’une variable réelle

Compléments de cours du (Ismaël Bailleul)

Compléments de cours du (Bachir Bekka)

Suite des compléments du et du .

TD du (Dominique Cerveau)

Problème du

Sujet de mathématiques générales 2013

Compléments de cours du (Ismaël Bailleul)

Suite des rappels des cours précédents.

Compléments de cours du (Bachir Bekka)

Suite des compléments du .

TD du (Cécile Le Rudulier)

Feuille d’exercices sur les anneaux et séries formelles

Compléments de cours du (Frédéric Touzet)

Compléments sur les fonctions de classe C

  • Fonctions plateaux et applications
  • Théorème de Borel sur les séries formelles

Compléments de cours du (Ismaël Bailleul)

Suite des rappels des cours précédents.

Compléments de cours du (Bachir Bekka)

  • Rappels sur les groupes et les actions de groupes
  • Exemple d’action de groupes : équivalence de matrices
  • Espaces projectifs
  • Homographies
  • Action de PGLn(K) sur l’espace projectif
  • Birapport
  • Critère de simplicité d’un groupe
  • Exemples : simplicité du groupe alterné A5 et de PGLn(K)
  • Distance de Hilbert sur un convexe borné

Feuilles de TD : 1, 2.

TD du (Cécile Le Rudulier)

Suite de la feuille précédente et feuille d’exercices sur les espaces euclidiens et hermitiens

Problème du

Sujet d’analyse et probabilités 2004

Compléments de cours du (Ismaël Bailleul)

Suite des rappels du cours précédent.

Compléments de cours du (Matthieu Romagny)

TD du (Cécile Le Rudulier)

Feuille d’exercices sur les formes bilinéaires et quadratiques

Compléments de cours du (Matthieu Romagny)

Suite des compléments de cours du matin.

Compléments de cours du (Ismaël Bailleul)

Compléments de cours du (Matthieu Romagny)

Le groupe ℤ/2ℤ

  • Soit G groupe non trivial tel que Aut(G)={1}. Alors G est isomorphe à ℤ/2ℤ.
  • Soit G un quotient non trivial de 𝔖n avec n>4. Alors G est isomorphe à ℤ/2ℤ.
  • Soit k un corps tel qu’il existe un espace vectoriel E de dimension n>1 et un isomorphisme entre E et son dual E* indépendant d’un choix de base. Alors k est isomorphe à 𝔽2, n=2, et l’isomorphisme est donné par la forme bilinéaire déterminant.
  • Soit k un corps algébriquement clos et k0 une sous-extension de k avec [k:k0] fini. Alors k est extension galoisienne de k0, de groupe de Galois isomorphe à ℤ/2ℤ, de plus car(k)=0 et k=k0(i) avec i2=-1 (théorème d’Artin, admis).

Compléments de cours du (Matthew Paddick)

Compléments de cours du (Matthieu Romagny)

Rappels sur l’algèbre des quaternions et utilisation des quaternions pour construire d’une autre manière l’injection de SO3(ℝ) dans PGL2(ℂ)

Problème du

Sujet de mathématiques générales 2007 (corrigé)

Compléments de cours du (Matthieu Romagny)

Suite des compléments de cours du matin.

Compléments de cours du (Matthew Paddick)

Feuille d’exercices

Compléments de cours du (Matthieu Romagny)

La sphère S2 et la droite projective 1(ℂ) :

  • projection stéréographique de S2 sur 1(ℂ) ;
  • action sur les rotations : injection de SO3(ℝ) dans PGL2(ℂ) ;
  • construction explicite des sous-groupes finis de PGL2(ℂ).

Feuille d’exercices

Problème du

Sujet d’analyse et probabilités 2001

Compléments de cours du (Matthew Paddick)

Intégration complexe :

  1. Théorèmes de Cauchy
    • Théorème de Cauchy (démontré avec f' continue), évocation du théorème de Cauchy-Goursat
    • Formule intégrale de Cauchy (démontrée), analyticité des fonction holomorphes, théorème de Morera
    • Critère d’holomorphie de fontions définies par une intégrale à paramètre (démontré)
  2. Singularités et résidus
    • Développement en série de Laurent, critères de classification des singularités (démontrés)
    • Théorème des résidus (démontré), applications : sin(x)/x (fait en TD), évocation de la transformée de Mellin

Compléments de cours du (Jérémy Le Borgne)

TD du (Cécile Le Rudulier)

Feuille d’exercices sur les polynômes à plusieurs indéterminées

Compléments de cours du (Matthieu Romagny)

Fin des compléments sur les polynômes en plusieurs indéterminées :

  • Théorème fondamental des fonctions symétriques, énoncé et preuve
  • Application à la démonstration par Lagrange du théorème de d’Alembert-Gauß ( est algébriquement clos)

Algèbres de dimension finie sur un corps :

  • Exemples
  • Plongement dans les algèbres de matrices
  • Énoncé sans preuve du théorème de décomposition de Dunford-Chevalley-Jordan
  • Exponentielle dans une k-algèbre de dimension finie (k= ou )
  • Exemples : exponentielle d’un élément de carré -1 et d’un quaternion
  • Application pour montrer que l’exponentielle depuis l’espace vectoriel des matrices antisymétriques réelles vers le groupe SOn(ℝ) est une application continue surjective

Compléments de cours du (Bachir Bekka)

Transformation de Fourier :

  • Feuille de TD 3
  • Rappels : transformation de Fourier dans S et S'
  • Preuve de théorème d’inversion de Fourier du point de vue de S'
  • Distributions harmoniques
  • Exemples de calcul de transformées de Fourier de distributions (vp(1/x), fonction de Heaviside, …)

Compléments de cours du (Vincent Guirardel)

Compléments de cours du (Matthew Paddick)

Feuille d’exercices

Compléments de cours du (Jérémy Le Borgne)

Cours de modélisation du (Jean-Christophe Breton)

Méthodes de Monte-Carlo

Cours de modélisation du (Gabriel Caloz)

Valeurs propres 1

TD du (Cécile Le Rudulier)

Feuille d’exercices d’algèbre linéaire

Problème du

Sujet de mathématiques générales 1994 (corrigé)

Compléments de cours du (Richard Éon)

Compléments de cours du (Jérémy Le Borgne)

Cours de modélisation du (Jean-Christophe Breton)

Fonction génératrice, transformée de Laplace

Cours de modélisation du (Vincent Guirardel)

Algèbre linéaire 2

TD du (Ismaël Bailleul)

Compléments de cours du (Matthieu Romagny)

Anneau de polynômes en plusieurs indéterminées

  • Propriété universelle
  • Application à une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
  • Fonctions polynomiales associées (cas d’un anneau de coefficients intègre, fini ou infini)
  • Factorialité et théorème de Gauß
  • Application à une méthode de calcul du déterminant de Vandermonde
  • Polynômes symétriques

Compléments de cours du (Jérémy Le Borgne)

Séries formelles à coefficients dans un anneau commutatif unitaire

  • Ordre, topologie, composition, éléments inversibles
  • Cas des séries formelles à coefficients dans un corps : idéaux, localité de l’anneau
  • Applications en combinatoire et dénombrement : comptage de solutions d’équations diophantiennes, sommes de Newton

Compléments de cours du (Vincent Guirardel)

Compléments de cours du (Ismaël Bailleul)

Théorèmes d’existence fondamentaux en analyse

Cours de modélisation du (Vincent Guirardel)

Algèbre linéaire 1

Cours de modélisation du (Michel Pierre)

Analyse qualitative des EDO

TD du (Frédéric Touzet)

Problème du

Sujet d’analyse et probabilités 2002

Compléments de cours du (Richard Éon)

Suite des compléments de cours du

Compléments de cours du (Françoise Dal’Bo)

Suite des compléments de cours du

Cours de modélisation du (Ismaël Bailleul)

Théorèmes limites en probabilités

Cours de modélisation du (Michel Pierre)

Équations différentielles : approximation

TD du (Frédéric Touzet)

Feuille de TD sur les séries entières et séries de Fourier

Compléments de cours du (Matthieu Romagny)

Compléments de cours du (Bachir Bekka)

Opérations sur les distributions tempérées :

  • Feuille de TD 2
  • Principe d’extension d’opérations de S à S'
  • Dérivation
  • Formule des sauts en dimension 1
  • Exemples

Compléments de cours du (Vincent Guirardel)

Représentations des groupes finis

Compléments de cours du (Richard Éon)

Suite des compléments de cours du matin

Compléments de cours du (Richard Éon)

Sur les transformées de Fourier et quelques applications (notes de cours)

  1. Transformée de Fourier
    1. Transformée de Fourier dans L1(ℝd)
    2. Transformée de Fourier dans S(ℝd)
  2. Extension de la transformée de Fourier-Plancherel dans L2
  3. Applications
    1. Probabilités
    2. Équations différentielles
  4. Distributions tempérées et transformée de Fourier
    1. L’espace des distributions tempérées
    2. Transformée de Fourier dans S'

Compléments de cours du (Françoise Dal’Bo)

Cours de modélisation du (Jean-Christophe Breton)

Simulation de variables aléatoires et applications

Compléments de cours du (Ismaël Bailleul)

Dualité et convexité

Cours de modélisation du (Gabriel Caloz)

Systèmes linéaires

TD du (Ismaël Bailleul)

Feuille de TD sur la compacité, voir aussi ce développement (Sous-groupes compacts de GL(ℝd)) pour la solution de l’exercice 5.

Problème du

Sujet de mathématiques générales 2002 (corrigé)

Compléments de cours du (Françoise Dal’Bo)

Compléments de cours du (Bachir Bekka)

Distributions tempérées :

  • Feuille de TD 1
  • Espaces localement convexes et espaces de Fréchet
  • Espace de Schwartz des fonctions à décroissance rapide
  • Distributions tempérées
  • Exemples

Compléments de cours du (Françoise Dal’Bo)

Formes quadratiques, formes hermitiennes et groupes orthogonaux : exemples et applications

Cours de modélisation du (Benjamin Boutin)

Interpolation. Intégration numérique

TD du (Frédéric Touzet)

Feuille de TD sur les séries de fonctions

Réunion de rentrée —

À Ker Lann (normaliens et magistériens)

La liste des cours donnée ici n’est pas forcément complète, voir le planning des cours de l’ENS pour plus de détails.

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments Analyse pour tous

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments Analyse pour tous

Cours d’algèbre du (Jérémy Le Borgne)

Équations diophantiennes

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments Analyse pour tous

Journée du (Dominique Catoir)

Journée de préparation à l’épreuve « Agir en fonctionnaire de l’État »

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments Analyse pour tous

Cours d’algèbre du (Tristan Vaccon)

Représentations de groupes

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments Analyse pour tous

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments Analyse pour tous

Cours d’algèbre du (Tristan Vaccon)

Représentations de groupes

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments Analyse pour tous

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments Analyse pour tous

Cours d’algèbre du (Arnaud Girand)

Représentations de groupes

Cours d’algèbre du (Romain Basson)

Primalité et cryptographie

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments d’analyse

Cours d’algèbre du (Romain Basson)

Cyclotomie

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments d’analyse

Cours d’algèbre du (Romain Basson)

Corps finis

Cours d’analyse du (Marc Briane)

Convexité

Cours d’algèbre du (Jérémy Le Borgne)

Théorie des corps 2

  • Corps de rupture d’un polynôme irréductible, existence et unicité à isomorphisme près
  • Corps de décomposition, existence et unicité à isomorphisme près
  • Construction des corps finis
  • Théorème de l’élément primitif

Cours d’analyse du (Marc Briane)

Convexité

Cours d’algèbre du (Jérémy Le Borgne)

Théorie des corps 1

  • Définitions : corps, extensions de corps, caractéristique
  • Théorème de la base télescopique et formule de multiplicativité des degrés
  • Extensions algébriques, polynôme minimal, caractérisation des extensions finies

Cours de géométrie du (Arnaud Girand)

Géométrie projective

Cours d’analyse du (Marc Briane)

Convexité

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments d’analyse

Cours d’analyse du (Marc Briane)

Convexité

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments d’analyse

Cours d’algèbre du (Romain Basson)

Invariants de similitude 2

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments d’analyse

Cours d’algèbre du (Romain Basson)

Invariants de similitude 1

Cours d’algèbre du (Arnaud Girand)

Combinatoire et dénombrement

Cours d’algèbre du (Tristan Vaccon)

Algèbre linéaire effective

Cours d’analyse du (Rozenn Texier-Picard)

Convexité

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments d’analyse

Cours d’algèbre du (Tristan Vaccon)

Exponentielles de matrices

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments d’analyse

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments d’analyse

Cours d’algèbre du (Jérémy Le Borgne)

Sous-groupes distingués, groupes quotients

  • Suites de sous-groupes distingués, groupes résolubles
  • Théorème de Jordan-Hölder
  • Étude des p-groupes, groupe de Frattini

Cours d’analyse du (Rozenn Texier-Picard)

Convexité

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments d’analyse

Cours d’analyse du (Rozenn Texier-Picard)

Convexité

Cours d’analyse du (Michel Pierre)

Compléments d’analyse

Cours d’analyse du (Rozenn Texier-Picard)

Convexité (notes de cours)